6º A,B, C e D- Matemática_ Professor Almir - Plano 3

 ESCOLA ESTADUAL DEPUTADO DERVILLE ALLEGRETTI 

Plano de Aula 3 

Atividade 2 

Professor: Almir Marques 

Disciplina: Matemática 

Anos (séries): 6os. Anos A, B, C, D 

Período: 01/04 a 16/04/2021 

Conteúdo/Objeto do Conhecimento: Múltiplos e divisores de um número natural. Números primos e compostos 

Suporte/Mídia para realização da aula: 

Aprender Sempre Matemática vol. 1 

Aulas do Centro de Mídias do Estado de São Paulo. 

Aulas via chat do cmsp por videoconferência com o professor de Matemática Almir. 

Explicações contidas neste material. 

Blog da Escola: https://atividades6anosderville.blogspot.com/:  

Email para envio das atividades: almirpereira@prof.educacao.sp.gov.br 

Enviar somente as atividades a serem resolvidas que estão

 no final das explicações. 

 

Números Naturais – Múltiplos, mínimo múltiplo comum, divisores, maior divisor comum. 

• Sequências dos múltiplos dos números naturais.   

para obter o número seguinte, faz-se a adição de um determinado número dependendo do múltiplo que se deseja. 

São sequências aditivas de números naturais, que começam pelo zero e para obter o número seguinte, faz-se a adição de um determinado número, dependendo dos múltiplos que estão sendo determinados. Representaremos os múltiplos pela letra M.  

Veja a seguir alguns múltiplos: 

M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...} → começa com zero e, para obter o número seguinte, o padrão de regularidade é a adição do 2. 

M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...} → começa com zero e, para obter o número seguinte, o padrão de regularidade é a adição do 3. 

M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} → começa com zero e, para obter o número seguinte, o padrão de regularidade é a adição do 4. 

 

Considere o conjunto de múltiplos de 2. Observe que fazendo a divisão de qualquer número da sequência por 2, os restos serão iguais a zero: 

0 ÷ 2 = 0, e o resto é 0;  

2 ÷ 2 = 1, e o resto é 0;  

4 ÷ 2 = 2 e o resto é 0; 

6 ÷ 2 = 3, e o resto é 0. 

Para qualquer múltiplo de 2, ao fazer a divisão por 2, o resto da divisão é igual a zero, ou seja a divisão é exata. 

Ao efetuar a divisão de qualquer número de uma sequência de múltiplos pelo respectivo número que a gerou, o resto da divisão será zero, isto é, a divisão é exata. 

Ser divisível significa que a divisão é exata, ou seja, o resto da divisão é zero (0). 

Então todos os números das sequências de múltiplos são divisíveis pelos respectivos números que os geraram. 

Considere a sequência dos números naturais é N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, 11, ...} em que o número seguinte (termo) é obtido pela adição do número 1. 

Pode-se também, para obter os múltiplos de um determinado número, fazer a multiplicação desse número por cada um dos termos do conjunto dos naturais. 

Veja a obtenção dos múltiplos de 2 usando esse processo. 

2 x 0 = 0,  

2 x 1 = 2, 

2 x 2 = 4,  

2 x 3 = 6,  

2 x 4 = 8,  

2 x 5 = 10,  

2 x 6 - 12, ... obtendo assim: 

M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}. 

 

• Múltiplos comuns: sequência de números naturais cujos elementos pertencem simultaneamente a duas ou mais sequências de múltiplos de números naturais. 

Exemplo: Obter os múltiplos comuns entre M (2) e M (3). 

M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} →veja que a sequência é infinita. 

M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,...} →veja que a sequência é infinita. 

Observando os elementos das sequências M(2) e M(3) acima, vemos que os elementos que estão simultaneamente nas duas sequências são: {0, 6, 12, ...} e observando essa sequência aditiva de múltiplos comuns, pode-se concluir que para obter o termo seguinte, o padrão de regularidade é a adição do número 6, sendo assim, é possível deduzir os próximos termos dessa sequência de múltiplos comuns. 

Logo: múltiplos comuns entre M (2) e M (3),ou M(2, 3)  = {0, 6, 12,18, 24, ...} →sequência infinita.  

• Mínimo múltiplo comum (m.m.c.): é o menor número, diferente de zero, da sequência dos múltiplos comuns de duas ou mais sequências de múltiplos dos naturais. 

Exemplo: Determinar o mínimo múltiplo comum dos números 2 e 3, ou seja, o m.m.c. (2,3) 

Sabemos, pelas explicações anteriores que os múltiplos comuns entre M (2) e M (3) ou M(2,3)  = {0, 6, 12, 18, 24, ...}. 

Na sequência de múltiplos comuns, temos que o menor desses elementos diferente de zero e´ o número 6. 

Logo o m.m.c. (2.3) = 6. 

• Divisores de um número natural 

Observe a que a divisão de 40 por 5 é exata, ou seja, 40 ÷ 5 = 8, resto 0 (zero) e sua inversa, fazendo o caminho de volta da operação divisão por meio da multiplicação tem-se 5 x 8 = 40. 

Observando as operações anteriores, pode-se afirmar que: o número 5 divide 40 em 8 partes iguais, significa que 5 é divisor de 40, ou 40 é divisível por 5. 

Na operação inversa 5 x 8 = 40, o número 40 é o resultado da multiplicação de 5 por 8, logo 40 é múltiplo de 5. 

O mesmo ocorre com o número 8, ou seja, 40 ÷ 8 = 5, e sua inversa é 8 x 5 = 40, o que permite concluir que 8 é divisor de 40 ou40 é divisível por 8. 

Pode-se notar, pelo acima exposto, que a palavra divisor estar completamente ligada a ideia de múltiplo. Por exemplo: se 3 é divisor de 9, então 9 é múltiplo de 3. 

De forma geral se um número natural a é divisor de um número natural b, então b é múltiplo de a. 

Resumidamente, podemos dizer que divisor é o número natural que divide um outro número em partes iguais. 

Agora, vamos compreender uma das formas de obter todos os divisores de um número natural. 

Exemplo: Obter todos os divisores de 8: 

Pensar em todos os números naturais que multiplicados entre si resultará no número 8. 

Inicie com o número natural 1 e procure deduzir que número natural, caso exista, multiplicado por 1 resultará no número 8, o que permite concluir facilmente que 1 x 8 = 8. 

Em seguida, pense no próximo número natural depois do número 1, no caso é o número 2 e deduzir que número natural, caso exista, multiplicado pelo número natural 2 resultará no número 8, o que permite concluir que 2 x 4 = 8. 

Continue com esse procedimento, na sequência, com os próximos números naturais e procure deduzir que números naturais, caso exista, multiplicados por cada um deles resultará no número 8, até começar a repetição dos fatores (números envolvidos na multiplicação). Quando começar a repetição dos fatores significa que encontramos todos os divisores de 8. 

Veja abaixo as obtenções de todos os divisores de 8: 

1 x 8 = 8 

2 x 4 = 8 

3 x ? = 8 → veja que nesse caso, não existe a multiplicação de 3 por um número natural que resulte em 8. 

4 x 2 = 8 →aqui começou a repetição dos fatores 2 e 4. 

Logo todos os divisores de 8, que vamos indicar como D (8) = {1, 2,4,8}. 

Outro exemplo: Obter todos os divisores de 18. 

Adotando o mesmo procedimento acima descrito, tem-se: 

1 x 18 = 18 

2 x 9 = 18 

3 x 6 = 18 

4 x ? = 18 → veja que nesse caso, não existe a multiplicação de 4 por um número natural que resulte em 18. 

5 x ? = 18 → veja que nesse caso, não existe a multiplicação de 5 por um número natural que resulte em 18. 

6 x 3 = 18 →aqui começou a repetição dos fatores 3 e 6. 

Logo: São eles todos os divisores de 8: D (18) = {1, 2, 3, 6, 18}. 

• Divisores comuns de dois ou mais números naturais: são todos os divisores simultâneos (ao mesmo tempo) de dois ou mais números. 

Exemplo: Obter os divisores comuns de 8 e 18. 

Já vimos que: 

D (8) = {1, 2, 4, 8}. 

D (18) = {1, 2, 3, 6, 18}. 

Veja que os números naturais 1 e 2 são divisores de 8 e, também divisores de 18, logo eles são os divisores comuns de 8 e 18. Indicaremos por D (8, 18) = {1,2}. 

 

• Maior divisor comum (m.d.c.): é o maior número natural dos divisores comuns de dois ou mais números. 

Exemplo: Qual o maior divisor comum dos números 8 e 18. 

D (8) = {1, 2, 4, 8} →já obtido anteriormente. 

D (18) = {1, 2, 3, 6, 18} → já obtido anteriormente. 

D (8, 18) = {1, 2} →já obtido anteriormente. 

Como número 2 é o maior dos números na relação de múltiplos comuns. O maior divisor comum é o 2. 

Logo: m.d.c. (8, 18) = 2. 

 

 

 Números primos 

Vamos começar determinando os divisores de alguns números naturais, que vocês já sabem como fazer.  A letra D vai indicar a palavra divisor e o sinal “.” Indica multiplicação. 

D (2) = {1, 2}, pois 1.2 = 2. 

D (3) = {1, 3}, pois 1.3 = 3. 

D (4) = {1, 2, 4}, pois 1.4 = 4 e 2.2 = 4. 

D (6) = {1, 2, 3, 6}, pois 1.6 = 6 e 2.3 = 6.  

D (8) = {1, 2, 4, 8}, pois 1.8 = 8 e 2.4 = 8. 

D (10) = {1, 2, 5, 10}, pois 1.10 = 10 e 2.5 = 10. 

D (11) = {1, 11}, pois 1.11 = 11. 

D (12) = {1, 2, 3, 4, 12}, pois 1.12 = 12, 2.6 = 12 e 3.4 = 12. 

D (13) = {1, 13}, pois 1.13 = 13. 

D (14) = {1, 2, 7, 14}, pois 1.14 = 14 e 2.7 = 14. 

Observe os divisores acima e veja que: 

Para o número 2 tem-se dois divisores;  

Para o número 3, tem-se dois divisores;  

Para o número 4 tem-se quatro divisores;  

Para o número 6, tem-se 4 divisores; 

Para o número 8, tem-se quatro divisores; 

Para o número 10, tem-se 4 divisores; 

Para o número 11, tem-se dois divisores;  

Para o número 12, tem-se cinco divisores; 

Para o número 13, tem-se dois divisores; 

Para o número 14, tem-se quatro divisores. 

Os números 2, 3, 11, 13 são decompostos somente em dois fatores, formados por 1 e por ele mesmo, ou seja, tem somente dois divisores. Então eles são números primos.  

Fatores são os números envolvidos numa multiplicação. 

Os números que têm a característica de serem divisíveis somente por 1 e por ele mesmo são os números primos. 

Os números 4, 6, 8, 10, 12, 14 possuem outros divisores além do número 1 e ele mesmo. Os números que têm a característica de ter mais que dois divisores, são os números compostos. 

A palavra primo vem do latim e significa “primeiro” e está relacionado a ideia de que são os primeiros números, diferentes de zero, nas sequências de múltiplos naturais. 

M (2) = 0,2, 4, 6, 8, 10, 12, ... o número 2 é primo e gera todos os múltiplos de 2 (pares). 

M (3) = 0, 3, 6, 9, 9, 12, 13,... o número 3 é primo e gera todos os múltiplos de 3. 

M (4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20,... o número 4 não é primo, possui o 2 como divisor, além do 1 e ele mesmo. 

M (5) = 0, 5, 10, 10, 15, 20, ... o número 5 é primo, e gera todos os múltiplos de 5. 

 Os números primos são geradores dos outros números por meio da multiplicação. 

• Crivo de Eratóstenes 

Para determinar os números primos existentes entre 1 e 100, pode-se usar um método inventado por um filósofo grego chamado Crivo de Eratóstenes (século III a.C.).  

Seguindo as etapas abaixo descritas você pode determinar todos os números primos usando o método de Eratóstenes, tente fazer. 

Etapas:  

- Preencher uma tabela com os 100 primeiros números naturais a partir do número 1, em ordem crescente, alinhando as dezenas por colunas. 

- Risque o número 1, porque ele não é primo. 

- Risque da tabela todos os múltiplos de 2, exceto o 2 porque ele é primo. 

- Em seguida, os múltiplos de 3, exceto o 3 porque ele é primo. 

- Como o número 4 já estará riscado, risque em seguida os múltiplos de 5, exceto o 5 porque ele é primo. 

- E assim por diante até completar a tabela.  

- Os números que ficarem sem riscar são todos os números primos compreendidos entre 1 e 100. 

 

 

 

Tabela - Crivo de Eratóstenes
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
									100

 

Tabela - Os 25 nos. Primos menores que 100
2	3

 

Você conseguiu? Parabéns. 

Deverá encontrar a seguinte sequência de números primos:2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. 

• Outro critério para saber se um número é ou não primo. 

Para saber se um número é primo, pode-se dividir esse número por números primos menores até que o quociente da divisão seja menor ou igual ao divisor. Caso todos os restos das divisões efetuadas sejam diferentes de 0 (zero) conclui-se que o número é primo e caso, dente as divisões efetuadas, algum dos restos seja igual a 0 (zero) conclui-se que o número não é primo. 

Exemplo: Verificar se o número 139 é primo ou não é primo. 

O 139 não é divisível por 2, 3 e 5, é possível fazer essa afirmação sem fazer contas, usando os critérios de divisibilidade: ele não é par, então não é divisível por 2; a soma de seus algarismos 1 + 3 + 9 = 13, então não é divisível por 3; ele não termina em 0 (zero) ou 5, então não é divisível por 5. 

Fazer as divisões desse número pelos próximos números primos depois do 5, na sequência, são eles (7, 11, 13, 17, 23, ...), até que o quociente seja um número natural menor ou igual ao divisor e observar se os restos das divisões é 0 (zero) ou diferente de 0 (zero). 

139:7 = 19 e o resto é 6 →Veja que o quociente 19 é maior que o divisor 7 e o resto diferente de zero, então, fazer a divisão pelo próximo número primo. 

139:11 = 12 e o resto é 7 →Veja que o quociente 12 é maior que o divisor 11 e o resto diferente de zero, então, fazer a divisão pelo próximo número primo. 

139:13 = 10 e o resto é 9 →Veja que o quociente 10 é menor que o divisor 13 e o resto diferente de zero, então paramos de fazer divisões. 

Como os todos os restos foram diferentes de zero de todas as divisões realizadas do número 139 por números primos menores, até chegar num quociente menor que o divisor, concluímos que 139 é número primo. 

 

Atividades a serem resolvidas e entregues: 

1) Escreva os 10 primeiros elementos das sequências dos múltiplos de 2, 5, 6. 

a) M (2) = _______________________________________________________________________ 

b) M (5) = ________________________________________________________________________ 

c) M (6) =_________________________________________________________________________ 

2) Determine os múltiplos comuns entre as seguintes sequências: 

a) entre M (5, 6) = __________________________________________________________________ 

b) entre M (2, 6) = __________________________________________________________________ 

3) Determine o mínimo múltiplo comum entre os números a seguir: 

a) m.m.c.  (5,6) =   _______ 

b) m.m.c. (2,6) = ______ 

 

 

4) Da estação rodoviária de uma cidade do interior saem dois ônibus de uma mesma empresa em direção à capital: um leito e o outro, convencional. O ônibus leito parte a cada 16 minutos e o convencional a cada 12 minutos. A primeira saída conjunta acontece às 16h30 e a última às 20h30. De quanto em quanto tempo os dois ônibus saem no mesmo horário? 

 

5) Encontre todos os divisores dos números a seguir. 

a) 3  

D (3) = __________________________________ 

b) 15 

D (15) = _________________________________ 

 

6) Determine o maior divisor comum dos pares de números a seguir: 

a) m.d.c. (3 e 15) = ________ 

 

7) Temos dois tubos de PVC que devem ser cortados em pedaços iguais. O primeiro deles mede 36 metros e o segundo mede 100 metros. Determine o maior tamanho que deve ter cada pedaço de modo que os dois tubos sejam utilizados inteiramente, sem sobras. 

8)  Descobrir se cada um dos números a seguir é primo ou não é primo, através de divisões conforme explicações. 

a) 119 

b) 127